Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Mặt cầu là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là tâm cầu O, bán kính R, kí hiệu: S(O; R) hay {M/OM = R}, vậy công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp là gì, mời các bạn cùng đón đọc bài hướng dẫn chi tiết của chúng tôi.

Công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a, hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương
 

I. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

S = 4.π.R²

Với: S là kí hiệu diện tích mặt cầu
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

- Trục đáy: Là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
- Trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Mặt trung trực của đoạn thẳng: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản

- Tâm và bán kính mặt cầu là hai đại lượng quan trọng để tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, chính vì vậy xác định tâm và bán kính là thao tác quan trọng để các em có thể tìm được diện tích. Cùng theo dõi cách tìm tâm và cách tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình.

1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hình lăng trụ đứng A₁A₂A₃A₄.A'₁A'₂A'₃A'₄ có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O'.
- Tâm mặt cầu: I và I' (đều là trung điểm của OO')
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = IA₁ = IA₂ = ....
- Biết tâm, bán kính, áp dụng công thức để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có các cạnh bằng a,...

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a) Hình chóp đều

Hình minh họa 

* Xác định tâm mặt cầu:

Hình chóp đều S.ABC có:
- O là tâm của đáy => SO là trục đáy
- Trên mặt phẳng (SAO), vẽ d là đường trung trực của SA cắt SA tại giao điểm M, cắt SO tại giao điểm I
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA, ta có:
=> R = SI = SA² : 2.SO = IB = IB = IC (R: Bán kính)

* Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Sau khi tính được bán kính mặt cầu, ta áp dụng công thức: S = 4.π.R²

b) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Hình minh họa

* Tìm tâm mặt cầu:

Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) trong đó mặt đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, vẽ d vuông góc với (ABC) tại O.
- Trong mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng d với SA, vẽ đường trung trực d' của SA, giao với SA tại M, giao với d tại I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Từ các dữ kiện đã biết, ta có hình chữ nhật MIOB
- Xét tam giác vuông MAI tại M:
R = AI = √(MI² + MA²) = √[AO² + (SA/2)²]

Lưu ý: Nếu hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và tam giác ABC vuông tại B thì tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chóp chính là trung điểm của đường SC. 

3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, hình hộp chữ nhật

* Xác định tâm của mặt cầu:
- Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' (tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương).
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 
- Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.
* Áp dụng công thức tính S để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 1, cạnh bằng 2a,...

III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp, các bạn cần tính được bán kính ngoại tiếp. Các bạn cùng xem công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện để áp dụng vào trong bài cho đúng. 

IV. Bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SAB là tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, (SAB) vuông (ABC). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Bài giải:

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện, hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ tương đối đơn giản, dễ nhớ, dễ thuộc, tuy nhiên trong từng dạng bài tập các em cần áp dụng một cách linh hoạt để tìm ra đáp án chính xác nhất cho đề bài. Bên cạnh đó các em cũng cần hiểu và ghi nhớ cách tính diện tích hình tròn để dễ dàng áp dụng những loại hình tương tự trong hình học không gian nhé.

https://thuthuat.taimienphi.vn/cong-thuc-dien-tich-mat-cau-ngoai-tiep-34062n.aspx
Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm các dạng bài về mặt cầu ngoại tiếp như bài toán công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là một bài toán mà các em rất hay gặp đó nhé.