Phương trình đường tròn - Lý thuyết, Công thức, dạng toán hay gặp

Phương trình đường tròn là kiến thức có phần đơn giản. Nếu như các em học sinh nắm vững lý thuyết, công thức cũng như các dạng bài tập thường gặp liên quan tới phương trình đường tròn đều có thể giải được dễ dàng.

Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập của phương trình đường tròn
 

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x² + y² = R².

2. Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R² có thể viết dưới dạng:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Trong đó: c = a² + b² - R².

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

(x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0

4. Một số dạng bài tập thường gặp về phương trình đường tròn

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng (x - a)² + (y - b)² = P (1).

Ví dụ 1: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:
2x² + y² - 8x + 2y - 1 = 0;
x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0;
x² + y² - 2x - 6y + 20 = 0;
x² + y² + 6x + 2y + 10 = 0.

Hướng dẫn giải:

Để kiểm tra xem một phương trình có phải là phương trình đường tròn hay không ta làm như sau:
+) Dựa vào phương trình đã cho xác định các hệ số a, b, c.
+) Tính a² + b² - c.
Nếu a² + b² - c > 0 ta kết luận phương trình đó là phương trình đường tròn.
Nếu a² + b² - c ≤ 0 ta kết luận phương trình đó không phải là phương trình đường tròn.

Lời giải:
2x² + y² - 8x + 2y - 1 = 0;
Phương trình trên không là phương trình đường tròn vì hệ số của x² và y² khác nhau.
x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0;
a = -1; b = 2; c = -4 ⇒ a² + b² - c = (-1)² + 2² - (-4) = 9 > 0
⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.
x² + y² - 2x - 6y + 20 = 0;
a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a² + b² - c = 1² + 3² - 20 = -10 nhỏ hơn 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.
x² + y² + 6x + 2y + 10 = 0.
a = -3; b = -1; c = 10 ⇒ a² + b² - c = (-3)² + (-1)² - 10 = 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

Phương pháp giải:
+) Tìm tọa độ tâm I(a; b) thuộc đường tròn (C).
+) Tìm bán kính R của đường tròn (C).
+) Viết phương trình đường tròn (C) có dạng: (x - a)² + (y - b)² = R².

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3; 4). Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính.

Hướng dẫn giải:
Để viết được phương trình đường tròn (C) theo yêu cầu của đề bài ta cần xác định:
+ Tâm của đường tròn: Vì AB là đường kính của đường tròn (C) nên tâm của đường tròn (C) chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.
+ Bán kính của đường tròn C: bằng 1⁄2 độ dài của đoạn thẳng AB.

Lời giải:
Gọi I(x_o, y_o) là tâm của đường tròn (C) nhận AB là đường kính.
Suy ra là trung điểm của AB.
Ta có:

Phương trình đường tròn (C) nhận AB là đường kính là: (x - 0)² + (y - 0)² = 52.
Hay x² + y² = 25.

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải:

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x - 2y + 7 = 0.

Hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng (d) thì R = d (I, d).

Lời giải:

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải:

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại M(3; 4) thuộc đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 8.

Hướng dẫn giải: Để viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn ta cần xác định tâm I của đường tròn (C). Sau đó, dựa vào các dữ liệu vừa tìm được viết phương trình đường thẳng.

Lời giải:

https://thuthuat.taimienphi.vn/phuong-trinh-duong-tron-69278n.aspx
Với chia sẻ trên đây về lý thuyết, công thức và dạng bài tập của Phương trình đường tròn, hy vọng các em đã bổ sung kiến thức đầy đủ nhất, tự tin giải quyết mọi bài tập liên quan.