Đề bài:
Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
Trả lời:
Đề bài:
Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <)>
a) AB ... AH; AC ... AH.
b) Nếu HB ... HC thì AB ... AC.
c) Nếu AB ... AC thì HB ... HC.
Trả lời:
a) AB > AH; AC > AH.
b) Nếu HB > HC thì AB > AC.
hoặc có thể HB < hc="" thì="" ab=""><>
c) Nếu AB > AC thì HB > HC.
hoặc có thể AB < ac="" thì="" hb=""><>
Đề bài:
Cho tam giác DEF. Hãy viết bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này.
Trả lời:
Với tam giác DEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:
DE < ef="" +="">
DF < ef="" +="">
EF < de="" +="">
DF - EF < de="">< df="" +="" ef="" (với="" df=""> EF)
Đề bài:
Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng:
Trả lời:
Ghép a - d' ; b - a' ; c - b' ; d - c'.
Đề bài:
Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng:
Trả lời:
Ghép a - b', b - a', c - d', d - c'.
Đề bài:
a) Hãy nêu tính chất trọng tâm của một tam giác; các cách xác định trọng tâm.
b) Bạn Nam nói: "Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác". Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
Trả lời:
a) - Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:
"Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó."
- Các cách xác định trọng tâm:
+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.
+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.
b) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác.
Đề bài:
Những tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao?
Trả lời:
Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân.
Đề bài:
Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh?
Trả lời:
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.
Đề bài:
Cho tam giác ABC với AC < ab.="" trên="" tia="" đối="" của="" tia="" bc="" lấy="" điểm="" d="" sao="" cho="" bd="AB." trên="" tia="" đối="" của="" tia="" cb="" lấy="" điểm="" e="" sao="" cho="" ce="AC." vẽ="" các="" đoạn="" thẳng="" ad,="">
a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB.
b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Trả lời:
Đề bài:
Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng:
(yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).
Trả lời:
(Giải thích ở phần (**): nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng 9090 độ chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:
a + b = 90 độ
c + d = 90 độ
mà b > d thì suy ra a <>
Đề bài:
Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?
Trả lời:
Để tạo được một tam giác thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5).
(Lưu ý: để xét cho nhanh, các bạn áp dụng phần Lưu ý (trang 63 sgk Toán 7 Tập 2)), tức là ta so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai cạnh hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai cạnh.
Ví dụ với cặp 3 độ dài (1, 2, 3) không là ba cạnh vì:
- bất đẳng thức 3 > 2 + 1 sai
- hoặc bất đẳng thức 3 - 2 < 1="">
Đề bài:
Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.
Trả lời:
Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.
Tổng khoảng cách từ nhà máy đến 4 khu dân cư là: OA + OB + OC + OD
Ta có:
- Nếu O nằm trên đoạn AC thì:
OA + OC = AC
OB + OD > BD
=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu O nằm trên đoạn BD thì:
OB + OD = BD
OA + OC > AC
=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu O không nằm trên AC và BD thì:
OA + OC > AC
OB + OD > BD
=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu O là giao điểm của AC và BD thì:
OA + OB + OC + OD = AC + BD
Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
(Lưu ý: một số sách giải và trang web cho rằng tổng khoảng cách ngắn nhất là khi O ở tâm đường tròn của 4 điểm là không chính xác, bởi vì chỉ có chắc chắn 1 đường tròn đi qua 3 điểm, còn có đi qua điểm còn lại hay không thì chưa đúng.)
Đề bài:
Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNP và RPQ.
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Trả lời:
Đề bài:
Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a?
Trả lời:
a) Tìm M khi độ OA, OB là bất kì
- Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1).
- Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2).
Từ (1) và (2) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
b) Tìm M khi OA = OB
- Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy (3).
- Ta có OA = OB. Vậy tam giác AOB cân tại O.
Trong tam giác cân OAB đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB (4).
Từ (3) và (4) ta xác định được vô số điểm M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đề bài:
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Trả lời:
Vì a và b không song song nên chúng cắt nhau giả sử tại A.
Xét tam giác AQS có:
QP vuông góc với AS (vì QP vuông góc với a)
SR vuông góc với AQ (vì SR vuông góc với b)
Ta có QP và RS cắt nhau tại M. Vậy M là trực tâm của tam giác AQS.
=> Đường thẳng đi qua M và vuông góc với QS tại H sẽ là đường cao thứ ba của tam giác AQS.
Vậy MH phải đi qua đỉnh A của tam giác AQS hay đường thẳng vuông góc với QS đi qua giao điểm của a và b (đpcm).
Đề bài:
Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chưa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi là một điểm của PA và M là giaođiểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA <>
b) Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm của PB. Chứng minh N'B <>
c) Gọi L là một điểm sao cho LA < lb.="" hỏi="" điểm="" l="" nằm="" ở="" đâu,="" trong="" pa,="" pb="" hay="" trên="">
Trả lời:
a)
- Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB.
Vì M nằm giữa đoạn NB nên:
NB = NM + MB hay NB = NM + MA (vì MB = MA)
Vậy NB = NM + MA
- Trong tam giác NMA có: NA < nm="" +="">
Vì NM + MA = NB nên NA < nb="">
b) Nối N'A cắt (d) tại P. Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA = PB
Ta có: N'A = N'P + PA = N'P + PB
Trong tam giác N'PB ta có: N'B < n'p="" +="">
Do đó: N'B < n'a="">
c)
- Vì LA < lb="" nên="" l="" không="" thuộc="" đường="" trung="" trực="">
- Từ câu b) ta suy ra với điểm N' bất kì thuộc PB thì ta có N'B < n'a.="" do="" đó,="" để="" la="">< lb="" thì="" l="" không="" thuộc="">
- Từ câu a) ta suy ra với điểm N bất kì thuộc PA thì ta có NA < nb.="" do="" đó,="" để="" la="">< lb="" thì="" l="" thuộc="">