Các dạng bài tập về tứ giác lớp 8 gồm có dùng tính chất về góc của tứ giác để tính góc, dùng bất đẳng thức tam giác để giải bài toán có liên quan tới cạnh của tứ giác đều được Taimienphi.vn tổng hợp dưới đây. Các em học sinh và các thầy cô cùng tham khảo.
Các bài tập về hình tứ giác lớp 8
Dạng bài tập về hình tứ giác lớp 8
Bài tập về tứ giác trong sách giáo khoa lớp 8
Toán 8 Tập 1 Bài 1 trang 64: Trong các tứ giác ở hình 1, tứ giác nào luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác ?
Lời giải
a) tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác
b) tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ BC (hoặc bờ CD)
c) tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ AD (hoặc bờ BC)
Toán 8 Tập 1 Bài 1 trang 65:
a) Nhắc lại định lý về tổng ba góc của một tam giác
b) Vẽ tứ giác ABCD tùy ý. Dựa vào định lý về tổng ba góc của một tam giác, hãy tính tổng A + B + C + D
Lời giải
a) Trong một tam giác, tổng ba góc là 180o
b)
ΔABC có ∠A1 + ∠B + ∠C1 = 180o
ΔADC có ∠A2 + ∠D + ∠C2 = 180o
⇒ ∠A1 + ∠B + ∠C1 + ∠A2 + ∠D + ∠C2 = 180o + 180o
⇒ (∠A1 + ∠A2 ) + ∠B + (∠C1 + ∠C2) + ∠D = 360o
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360o
Bài 1 (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x ở hình 5, hình 6:
Lời giải:
Ta có định lý: Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360º.
+ Hình 5a: Áp dụng định lý trong tứ giác ABCD ta có:
x + 110º + 120º + 80º = 360º
⇒ x = 360º – 110º – 120º – 80º = 50º
+ Hình 5b:Dựa vào hình vẽ ta có:
Áp dụng định lý trong tứ giác EFGH ta có:
x + 90º + 90º + 90º = 360º
⇒ x = 360º – 90º – 90º – 90º = 90º.
+ Hình 5c:Dựa vào hình vẽ ta có:
Áp dụng định lý trong tứ giác ABDE ta có:
x + 90º + 65º + 90º = 360º
⇒ x = 360º – 90º – 65º – 90º = 115º
+ Hình 5d:
Áp dụng định lý trong tứ giác IKMN ta có:
x + 90º + 120º + 75º = 360º
⇒ x = 360º – 90º – 120º – 75º = 75º
+ Hình 6a: Áp dụng định lý trong tứ giác PQRS ta có:
x + x + 65º + 95º = 360º
⇒ 2x + 160º = 360º
⇒ 2x = 200º
⇒ x = 100º
+ Hình 6b: Áp dụng định lý trong tứ giác MNPQ ta có:
x + 2x + 3x + 4x = 360º
⇒ 10x = 360º
⇒ x = 36º.
Bài 2 (trang 66 SGK Toán 8 Tập 1): Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.
a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a.
b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài):
c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?
Lời giải:
a) + Góc ngoài tại A là góc A1:
+ Góc ngoài tại B là góc B1:
+ Góc ngoài tại C là góc C1:
+ Góc ngoài tại D là góc D1:
Theo định lý tổng các góc trong một tứ giác bằng 360º ta có:
Lại có:
Vậy góc ngoài tại D bằng 105º.
b) Hình 7b:
Ta có:
Mà theo định lý tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360º ta có:
Bài 3 (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1): Ta gọi tứ giác ABCD trên hình 8 có AB = AD, CB = CD là hình "cái diều".
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD.
b) Tính B̂,D̂ biết rằng  = 100º, Ĉ = 60º
Lời giải:
a) Ta có:
AB = AD (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của BD
CB = CD (gt) ⇒ C thuộc đường trung trực của BD
Vậy AC là đường trung trực của BD
b) Xét ΔABC và ΔADC có:
AB = AD (gt)
BC = DC (gt)
AC cạnh chung
⇒ ΔABC = ΔADC (c.c.c)
Bài 4 (trang 67 SGK Toán 8 Tập 1): Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình 9, hình 10 vào vở.
Lời giải:
- Cách vẽ hình 9:
+ Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm
+ Quay cung tròn tâm A, bán kính 3cm, cung tròn tâm B bán kính 3,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
+ Quay cung tròn tâm C bán kính 2cm và cung tròn tâm A bán kính 1,5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại D.
+ Nối các đoạn BC, AC, CD, AD ta được hình cần vẽ.
- Cách vẽ hình 10:
+ Vẽ góc
+ Vẽ cung tròn tâm P bán kính 1,5cm và cung tròn tâm M bán kính 3cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại Q.
+ Nối PQ, MQ ta được hình cần vẽ.
Bài tập về tứ giác trong sách bài tập toán lớp 8
Bài 1 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).
Lời giải:
Ta có: ∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 = 360o (tổng các góc của tứ giác)
+) Lại có: ∠A1 + ∠A2 = 180o ( hai góc kề bù).
∠B1 + ∠B2 = 180o (hai góc kề bù)
∠C1 + ∠C2 = 180o (hai góc kề bù)
∠D1 + ∠D2 = 180o (hai góc kề bù)
Suy ra: ∠A1 + ∠A2 + ∠B1 + ∠B2 + ∠C1 + ∠C2 + ∠D1 + ∠D2 = 180o.4 = 720o
⇒ ∠A2 + ∠B2 + ∠C2 + ∠D2 = 720o – (∠A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1)
= 720o – 360o = 360o
Bài 2 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA.
a. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.
b. Cho biết B = 100o, D = 70o, tính góc A và góc C.
Lời giải:
a. Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.
Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.
Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.
b. Xét ΔBAD và ΔBCD, ta có:
BA = BC (gt)
DA = DC (gt)
BD cạnh chung
Suy ra: ΔBAD = ΔBCD (c.c.c)
⇒ ∠(BAD) = ∠(BCD)
Mặt khác, ta có: ∠(BAD) + ∠(BCD) + ∠(ABC) + ∠(ADC) = 360o
Suy ra: ∠(BAD) + ∠(BCD) = 360o – (∠(ABC) + ∠(ADC) )
2∠(BAD) = 360o – (100o + 70o) = 190o
⇒ ∠(BAD) = 190o : 2 = 95o
⇒ ∠(BCD) = ∠(BAD) = 95o
Bài 3 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác
Lời giải:
- Vẽ tam giác ABD
+ Vẽ cạnh AD dài 4cm
+ Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm
+ Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm
+ Hai cung tròn cắt nhau tại B
⇒ Ta được tam giác ABD
- Vẽ tam giác DBC
+ Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = 60o
+ Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm
⇒ Ta được tam giác BDC
⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ
Bài 4 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: ∠A: ∠B: ∠C: ∠D= 1 : 2 : 3 : 4
Lời giải:
Theo bài ra, ta có:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Vậy: ∠A= 1.36o = 36o; ∠B= 2.36o = 72o;
∠C= 3.36o = 108o ; ∠D= 4.36o = 144o.
Bài 5 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có ∠A = 65o, ∠B = 117o, ∠C = 71o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D.
Lời giải:
Trong tứ giác ABCD, ta có:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360o (tổng các góc của tứ giác)
⇒ ∠D = 360o – (∠A + ∠B + ∠C )
= 360o – (65o + 117o + 71o) = 107o
∠D + ∠D1 = 180o (2 góc kề bù) ⇒ ∠D1 = 180o - ∠D = 180o – 107o = 73o
Bài 6 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
Lời giải:
Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn ( tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:
90o + 90o+ 90o+ 90o = 360o.
Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.
Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù ( tức là mỗi góc có số đo lớn hơn 90o) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:
90o+ 90o+90o+90o = 360o.
Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.
Bài 7 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh B và D.
Lời giải:
* Gọi ∠A1, ∠C1là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C, ∠A2, ∠C2là góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có: ∠A1+ ∠A2 = 180o (2 góc kề bù)
⇒ ∠A2= 180o - ∠A1
∠C1+ ∠C2= 180o (2 góc kề bù) ⇒ ∠C2= 180o - ∠C1
Suy ra: ∠A2+ ∠C2= 180o - ∠A1+ 180o - ∠C1= 360o – (∠A1 + ∠C1) (1)
* Trong tứ giác ABCD ta có:
∠A1+ B + ∠C1 + ∠D = 360o (tổng các góc của tứ giác)
⇒ ∠B + ∠D = 360o - (∠A1 + ∠C1) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠A2+ ∠C2 = ∠B + ∠D
Bài 8 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có A = 110o, B = 100o. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính
Lời giải:
Trong tứ giác ABCD, ta có: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360o
⇒ ∠C + ∠D = 360o - (∠A + ∠B) = 360o – (110o + 100o) = 150o
Do DE và CE lần lượt là tia phân giác của góc
Trong ΔCED ta có:
∠CED = 180o – (∠C1 + ∠D1) = 180o – 75o = 105o
DE ⊥ DF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ ∠EDF = 90o
CE ⊥ CF (t/chất tia phân giác của hai góc kề bù) ⇒ ∠ECF = 90o
Trong tứ giác CEDF, ta có: ∠DEC + ∠EDF + ∠DFC + ∠ECF = 360o
⇒ ∠DFC = 360o - (∠DEC + ∠EDF + ∠ECF) = 360o - (105o - 90o - 90o) = 75o
Bài 9 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
* Trong ΔOAB, ta có:
OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ΔOCD, ta có:
OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng từng vế (1) và (2):
OA + OB + OC + OD > AB + CD
⇒ AC + BD > AB + CD
Bài 10 trang 80 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.
Lời giải:
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ΔOAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ΔOCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Dạng 1: Dùng tính chất về các góc của tứ giác để tính góc
Định lý: Tứ giác có tổng bốn góc bằng 360 độ. Góc ngoài của tứ giác chính là góc kề bù với một góc của tứ giác.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, có B = 120 độ, C = 60 độ, D = 90 độ. Tính góc A và góc ngoài đỉnh A.
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, C = 60 độ, A = 100 độ
a. Chứng minh AC là đường trung trực của BD
b. Tính B và D
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E, phân giác ngoài của góc A và góc B cắt tại F. Chứng minh AEB = (C+D)/2 và AFB = (A+D)/2.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD có B + D = 180 độ, CB = CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh:
a. Tam giác ABC và EDC bằng nhau
b. AC là phân giác của góc A
Bài 5: Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc A, B, C, D tỉ lệ thuận với 5, 8, 13 và 10.
a. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD
b. Kéo dài hai cạnh AB và CD cắt nhau tại E, kéo dài hai cạnh AD và BC cắt nhau tại F. Hai tia phân giác của góc AED và góc AFB cắt nhau tại O. Phân giác góc AFB cắt cạnh CD và AM lần lượt là M và N. Chứng minh O là trung điểm đoạn MN.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có B + D = 180 độ, AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh CB = CD.
Bài 7: Cho tứ giác ABCD, có A = a, C = b. Hai đường thẳng AD = BC cắt nhau tại E, đường thẳng AB và DC cắt nhau tại F. Các tia phân giác hai góc AEB và AFD cắt nhau tại I. Tính góc EIF theo a, b.
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ tới các cạnh của một tứ giác
Định lý: - Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi O chính là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
a. Chứng minh
b. Khi O là điểm bất kì thuộc miền trong của tứ giác ABCD, kết luận trên có đúng không?
Bài 4: Chứng minh rằng trong một tứ giác thì:
a. Tổng độ dài 2 cạnh đối diện nhỏ hơn tổng độ dài hai đường chéo
b. Tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác
Với các dạng bài tập về tứ giác lớp 8 này, các thầy cô nhanh chóng tổng hợp được các dạng toán phù hợp để dạy học cho các em cũng như giúp các em củng cố kiến thức, gặp các dạng toán này đều có thể giải dễ dàng và nhanh chóng.